Matrice

Les calculs de base sur les matrices

Les matrices sont des tableaux de vecteurs. Par convention, chaque vecteur est positionné en colonne.

\(X \Rightarrow^A \Rightarrow ^B \Leftrightarrow BAX\) avec A et B des opérations.

Trois opérations pour transformer les matrices :

• Homothétie : dilater un vecteur.
• Rotation : changer l'angle càd l'orientation.
• Projection :

Note

La simulation des environments dans les jeux vidéos utilise les matrices générer le changement de vue.

Distance euclidienne ou norme

C'est la somme des valeurs absolues de chaque coordonnée (dans un espace avec des axes orthogonaux). Le calcul est une généralisation de Pythagore

Rotation

La rotation d'un vecteur d'un angle \(\theta\) :

\(\(\begin{cases} x' = x \cdot \cos \theta - y \cdot \sin \theta \\ y' = x \cdot \sin \theta + y \cdot \cos \theta \end{cases}\)\) Avec les matrices, cela revient a faire :

\[\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\]

Cosinus directeur angle entre deux vecteurs.

Produit scalaire

Propriété :

• Le cosinus de deux vecteurs perpendiculaires est nul alors le produit scalaire \(= 0\).

Matrice carré

Matrice carré matrice avec autant de lignes que de colonnes.

Déterminant

Le déterminant donne l'information si :

• Un système d'équation possède une ou plusieurs solutions.
• Si la matrice est inversible.

Si \(det(X) = 0\) alors :

• Pas de solutions.
• La matrice n'est pas inversible.

Example

Lorsque deux lignes sont identiques.

Interprétations du déterminant :

• Le déterminant correspond au volume. Ainsi, l'absence de solution correspond à une absence de volume.

Note

Méthode pour déterminer le déterminant d'une matrice :

1. Matrice de signe : si la somme de l'indice ligne \(+\) colonne est pair -> \(+\) sinon \(-\)
2. • l'élément, on garde tous les éléments qui ne se trouvent pas dans la ligne et colonne. 2 det( 2 1 -1 )

   pour les élément d'une ligne :

   \(det(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}) = a \cdot d - b \cdot c\)

Matrice inverse

\(A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A\)

La matrice inverse se calcule comme

\[A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot \begin{bmatrix} a_{2,2} & -a_{2,1} \\ -a_{1,2} & a_{1,1} \end{bmatrix}\]

Valeurs propres et vecteurs propres

Déterminer les valeurs propres consiste à résoudre \(det(\delta - \alpha \cdot I) = 0\) avec \(\alpha \in \mathbb{R}\).

Pour calculer les vecteurs, il faut ensuite calculer pour chaque valeur propre : \((\delta - \alpha I) \cdot \vec{v} = (0)\)

Si \(det = 0\) alors une valeur propre est à 0 donc pas de vecteurs propres et la matrice n'est pas inversible.

Note

Pour les matrices \(n \times m\), les valeurs propres sont appelées singulières.

Note

Une matrice est dite positive si ses valeurs propres sont supérieures à 0 \(\alpha \gt 0\).

Fonctions à plusieurs variables

Les fonctions à plusieurs variables sont souvent trop complexes pour étudier leur sens de variations de façon absolue. On approche

Dérivées partielles

Gradient : \(\nabla f = [ \frac{\partial f}{\partial x_1}; ...; \frac{\partial f}{\partial x_n} ]\)

Note

La dérivée partielle de \(\frac{\partial f}{\partial x}\) d'ordre 1 par rapport à \(y\) est notée \(\frac{\partial ^2 f}{\partial y \cdot \partial x}\).

Note

D'après le théorème de Shwarz, pour les fonctions dérivables n-fois, a dérivée \(\frac{\partial ^2 f}{\partial y \cdot \partial x} = \frac{\partial ^2 f}{\partial x \cdot \partial y}\)

Matrice hessienne

Matrice de vecteurs de direction du sens de variations.

\(\nabla^{2} f = \frac{\partial f}{\partial x_i \cdot \partial x_j}\) avec \(i\) la ligne et \(j\) la colonne.

Note

Donne les vecteurs orientés dans le sens croissant de la fonction.

Note

Une fonction est convexe si la matrice hessienne est positive.

Développement limité

Développement limité ou dévéloppement en série ou de Taylor est une méthode mathématique qui permet d'approximer une fonction complexe par une fonction polynomiale autour d'un point d'intérêt.

\(f(x + h) = f(x) + \nabla f(x) \cdot h + \frac{1}{2} \cdot h^T \cdot \nabla^2 f(x) \cdot h\)

Minimiser une fonction

Pour minimiser des fonctions plusieurs approches sont possibles. Elles sont itératives et nécessites d'être réalisée jusqu'a que le résultat est convergé sur la solution.

• Gradient \(x - \rho \cdot \nabla f\) avec \(\rho\) le poids de màj du point choisi.
• Approche de Newton \(x - \nabla ^2 f^{-1} \cdot \nabla f\)

Approche de Newton

1. La fonction est approchée par un polynôme de degré 2.
2. \(x - \rho \cdot \nabla f\) l'idée est d'utiliser la matrice hessienne pour calculer la valeur de la mise à jour.

\(x_1 = x_0 - \frac{\nabla f(x_0)}{\nabla^2 f(x_0)}\)