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Fonctions remarquables

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est une fonction qui associe un nombre à son doublement (taux d'accroissement). C'est exactement comment le taux d'intérêt d'un livret. L'intérêt dépend de l'argent du compte : plus il y a d'argent plus la valeur de l'accroissement du compte sera élevé.

Pour une valeur qui 1 qui double à \(1 + 1 = 2\)

\(( 1 + 1 \cdot \frac{1}{2} ) + (1 + 1 \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = {(1 + \frac{1}{2})}^{2}\)

\(( 1 + 1 \cdot \frac{1}{3} ) + ( 1 + 1 \cdot \frac{1}{3} ) \cdot \frac{1}{3} + [ ( 1 + 1 \cdot \frac{1}{3} ) + ( 1 + 1 \cdot \frac{1}{3} ) \cdot \frac{1}{3} ] \cdot \frac{1}{3} = {(1 + \frac{1}{3})}^{3}\)

La généralisation des calculs précédent conduit à : \({(1 + \frac{1}{n})}^n\)

La fonction exponentielle est \(\lim_{n \rightarrow \infty}{\ {(1 + \frac{1}{n})}^n} = e( \approx 2,718\ldots)\)

Note

L'exponentiel et le logaritme sont systmétrique par rapport à \(f(x) = x\).

Propriétés exponentielle :

  • \(e^{a + b} = e^{a} \cdot e^b\)
  • \(e^{a^n} = e^{n \cdot a}\)

Logarithme

Le logarithme népérien a été inventé pour simplifier le produit. Il donne une correspondance entre deux opérations élémentaires : le produit et la somme.

Axe multiplicatif Puissance Axe additif
1 \(2^0\) 0
2 \(2^1\) 1
4 \(2^2\) 2
8 \(2^3\) 3
16 \(2^4\) 4
32 \(2^5\) 5
64 \(2^6\) 6
128 \(2^7\) 7
256 \(2^8\) 8
512 \(2^9\) 9

Example

On cherche à calculer \(8 \times 2\)

  1. On 2 correspond à 1 et 8 correspond à 3.
  2. \(1 + 3 = 4\).
  3. 4 correspond 16.

Note

\(\log 16 = 4\)

Note

Les valeurs du log étaient regroupées dans des tables. Elles permirent de gagner un temps considérable dans les calculs avant l'invention des calculateurs.

Propriétés du logarithme :

  • $\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b $
  • \(\ln a^n = n \cdot \ln a\)

Les polynômes

Déterminer les valeurs pour lesquels \(f(x) = 0\). Ces méthodes sont également pratiques pour connaître le signe de \(f(x)\) :

  • Par factorisation (forme canonique) : Cela revient à factoriser avec les identités remarquables.

  • Par calcul du déterminant :

    1. Calculer le delta : \(\Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c\)
    2. Si delta est :
Delta Nb de solutions reels
\(\Delta \lt 0\) 0 (des solutions dans le plan des complexes)
\(\Delta = 0\) 1
\(\Delta \gt 0\) 2

Solution donnée par \(x_i = \frac{- b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}\)