Dérivés primitives et limites
Image Antécédent
- Injective, la fonction renvoie une image pour l'ensemble des antécédents. \(\forall x, \exists y, f(x) = y\)
- Surjective, toute les images possèdent au moins un antécédent, \(\forall y, ! \exists x, f(x) = y\)
- Bijective, est équivalent à une fonction surjectif et injective càd tout les antécédents possèdent une unique image, \(\forall x, !\exists y, f(x) = x\)
Note
Si \(f\) est bijective alors il existe une fonction \(f^{-1}(y) = x\)
Dérivé et primitive
La dérivée correspond à la fonction qui donne l'évolution de la pente. C'est le coefficent de la droite qui par passe par un point \(x_{0}\) :
- Coefficient de la droite \(f'(x) = \lim_{h \to \infty} {\frac{f(x-h)+f(x)}{h}}\)
- Tangente : \(f'(a)(x - a) + f(a)\)
Note
La dérivé seconde \(f''(x)\) donne pour \(f un plateau = f'(x_0) = 0\) le sens de variation.
Son approximation en un point \(x_{0}\)
\(tangente + correction\)
Le signe de la dérivé permet de connaitre la variation de \(f(x)\) grâce au signe de la dérivée.
Calculer l'aire sous la courbe (primitive) : \(\int_{}^{}{f(x) \cdot dx} = F(x) + C\)
| \(\mathbf{f(x)}\) | \(\mathbf{f'(x)}\) |
|---|---|
| \(u + v\) | \(u' + v'\) |
| \(u^n\) | \(n \cdot u' \cdot u^{n - 1}\) |
| \(u \cdot v\) | \(u' \cdot v + u \cdot v'\) |
| \(\frac{u}{v}\) | \(\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\) |
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(e^u\) | \(u' \cdot e^{u}\) |
| \(\ln u\) | \(\frac{u'}{u}\) |
| \(\cos u\) | \(- u' \cdot \sin u\) |
| \(\sin u\) | \(u' \cdot \cos u\) |
| \(\tan u\) | \(u' \cdot (1+ \tan u)^2\) |
| Intégration par partie : |
Équation différentielle
[[équation différentielle]]
| Equation différentielle | Solution | Description |
|---|---|---|
| \(y' + A \cdot y = 0\) | \(y = k \cdot e^{- a \cdot x}\) | |
| ## Limites |
Quatres formes indéterminées \(- \infty + \infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\).
Méthodes pour sortir d'une forme indéterminer :
- factoriser, par exemple en passant par me conjugué \((a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})\).
- Pour les polynômes, cela revient à déterminer la limite du terme de plus haut degré.
Sens de variation
Un fonction est convexe (puit) si \(f''(x) \ge 0\)